Превращение энергии при гармонических колебаниях. Вынуж­денные колебания

Математический маят­ник - это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерас­тяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник - это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный ма­ятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему в данном случае образуют нить, присо­единенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.

где а х – ускорение, g – ускорение свободного падения, х - смещение, l – длина нити маятника.

Это уравнение называется урав­нением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.

Свободные колебания любых систем во всех слу­чаях описываются аналогичными уравнениями.

Причинами свободных колебаний математическо­го маятника являются:

1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, пре­пятствующей его смещению из положения равновесия и заставляю­щей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.

Период свободных колебаний математического ма­ятника

Период свободных колебаний математического маятника не за­висит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.

Превращение энергии при гармонических колебаниях

При гармонических колебаниях пружинного маятника проис­ходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , гдеk – коэффициент упругости,х - модуль смещения маятника из поло­жения равновесия,m - масса маятника,v - его скорость. В соот­ветствии с уравнением гармонических колебаний:

, .

Полная энергия пружинного маятника:

.

Полная энергия для математического маятника:

В случае математического маятника

Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии (). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая - уменьшается. Когда маятник проходит положение равно­весия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.

Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.

Вынужденные колебания. Резонанс.

Колебания, происходящие под действием внеш­ней периодической силы, называются вынужден­ными колебаниями . Внешняя периодическая си­ла, называемая вынуждающей, сообщает колеба­тельной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, проис­ходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или коси­нуса, то вынужденные колебания будут гармониче­скими и незатухающими.

В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из со­стояния равновесия), в случае вынужден­ных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периоди­ческой силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на пре­одоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему ос­тается неизменной.

Частота вынужденных колебаний равна часто­те вынуждающей силы . В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной ча­стотой колебательной системы υ 0 , происходит рез­кое возрастание амплитуды вынужденных колеба­ний - резонанс . Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ 0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает по­ложительную работу: энергия колеблющегося те­ла увеличивается, и амплитуда его колебаний ста­новится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А т от частоты вынужда­ющей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:

Явление резонанса играет большую роль в ря­де природных, научных и производственных про­цессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.

При изучении этой темы решают задачи по кинематике и динамике упругих колебаний. Полезно при этом сопоставление упругих колебаний с уже рассмотренными колебаниями маятника для выявления как их общих, так и специфических черт.

Решение задач требует применения второго закона Ньютона, закона Гука и формул кинематики гармонического колебательного движения.

Период упругих гармонических колебаний тела массой определяют по формуле (№ 758). Эта формула позволяет определить период различных гармонических колебаний, если известно значение Для упругих колебаний это коэффициент жесткости, а для колебаний математического маятника (№ 748).

В задачах о превращениях энергии в колебательном движении в основном рассматривают превращение кинетической энергии в потенциальную. Но для случая затухающих колебаний учитывают также превращение механической энергии во внутреннюю. Кинетическая энергия упругих колебаний

Потенциальная энергия

Будут ли отличаться и как колебания тел разной массы на одной и той же пружине? Ответ проверьте на опыте.

Ответ. Тело большей массы будет иметь больший период колебаний. Из формулы следует, что при одной и той же силе упругости тело большей массы будет иметь меньшее ускорение и, следовательно, будет двигаться медленнее. Это можно проверить, приводя в колебание подвешенные на динамометре грузы разной массы.

757(э). На пружину подвесили груз и затем поддерживали его так, чтобы пружина не растягивалась. Опишите, как будет двигаться груз, если убрать поддерживающую его опору. Ответ проверьте на опыте.

Решение, Отпустим груз свободно падать вниз. Тогда он растянет пружину на величину которую можно определить из соотношения

По закону сохранения энергии при обратном движении вверх груз поднимается на высоту будет совершать колебания с амплитудой h. Если же груз подвесить на пружине, он растянет ее на величину

Следовательно, положение, в котором висит груз в состоянии покоя, является центром, около которого совершаются колебания. Этот вывод легко проверить на «мягкой» длинной пружине, например от прибора «ведерко Архимеда».

758. Тело массой под действием пружины, имеющей жесткость совершает без трения колебания в горизонтальной плоскости вдоль стержня а (рис. 238). Определите период колебания тела, используя закон сохранения энергии.

Решение. В крайнем положении вся энергия тела потенциальная, а в среднем - кинетическая. По закону сохранения энергии

Для положения равновесия Следовательно,

759(э). Определите коэффициент жесткости резиновой нити и рассчитайте период колебания подвешенной на ней гири массой . Ответ проверьте на опыте.

Решение. Для ответа на воррос задачи учащиеся должен иметь резиновую нить, грузик массой 100 в, линейку и секундомер

Подвесив груз на нить, сначала рассчитывают величину численно равную силе, которая растягивает нить на единицу длины. В одном из опытов были получены следующие данные. Начальная длина нити см, конечная Откуда см

Измерив по секундомеру время 10-20 полных колебаний груза, убеждаются, что период, найденный расчетами, совпадает с полученным из опыта.

760. Используя решение задач 757 и 758, определите период колебаний вагона на рессорах, если его статическая осадка равна

Решение.

Следовательно,

Мы получили интересную формулу, по которой легко определить период упругих колебаний тела, зная только величину

761 (э). Используя формулу рассчитайте, а затем проверьте на опыте период колебаний на пружине от «ведерка Архимеда» грузов массой 100, 300, 400 г.

762. Пользуясь формулой получите формулу периода колебаний математического маятника.

Решение. Для математического маятника поэтому

763. Используя условие и решение задачи 758, найдите закон, по которому изменяется сила упругости пружины, и запишите уравнения данного гармонического колебательного движения, если в крайнем положении тело обладало энергией

Решение.

Примем, что Амплитуду колебаний А определим из формулы

Аналогично подставив значение массы, амплитуды и периода в общие формулы смещения, скорости и ускорения, получим:

Формулу ускорения можно было такжеполучить, пользуясь формулои силы

764. Математический маятник, имеющий массу и длину отклонили на 5 см. Какую скорость ускорение а и потенциальную энергию он будет иметь на расстоянии см от положения равновесия?

Механическими колебаниями называют движения тела, повторяющиеся точно или приблизительно через одинаковые промежутки времени. Основными характеристиками механических колебаний являются: смещение, амплитуда, частота, период. Смещение - это отклонение тела от положения равновесия. Амплитуда - модуль максимального отклонения от положения равновесия. Частота - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Период - время одного полного колебания, т. е. минимальный промежуток времени, через который происходит повторение процесса. Период и частота связаны соотношением: v = 1/Т. Простейший вид колебательного движения - гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса (рис. 9). Свободными называют колебания, которые совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания. Например, колебания груза на нити (рис. 10). Рассмотрим процесс превращения энергии на примере колебаний груза на нити (см. рис. 10). При отклонении маятника от положения равновесия он поднимается на высоту h относительно нулевого уровня, следовательно, в точке А маятник
обладает потенциальной энергией mgh. При движении к положению равновесия, к точке О, уменьшается высота до нуля, а скорость груза увеличивается, и в точке О вся потенциальная энергия mgh превратится в кинетическую энергию mv^2/2. В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном отклонении от положения равновесия становится равной нулю. При колебательном движении всегда происходят периодические превращения его кинетической и потенциальной энергии.
При свободных механических колебаниях неизбежно происходит потеря энергии на преодоление сил сопротивления. Если колебания происходят под действием периодической внешней силы, то такие колебания называют вынужденными. Например, родители раскачивают ребенка на качелях, поршень движется в цилиндре двигателя автомобиля, колеблются нож электробритвы и игла швейной машины. Характер вынужденных колебаний зависит от характера действия внешней силы, от ее величины, направления, частоты действия и не зависит от размеров и свойств колеблющегося тела. Например, фундамент мотора, на котором он закреплен, совершает вынужденные колебания с частотой, определяемой только числом оборотов мотора, и не зависит от размеров фундамента.

При совпадении частоты внешней силы и частоты собственных колебаний тела амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Такое явление называют механическим резонансом. Графически зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты действия внешней силы показана на рисунке 11.
Явление резонанса может быть причиной разрушения машин, зданий, мостов, если собственные их частоты совпадают с частотой периодически действующей силы. Поэтому, например, двигатели в автомобилях устанавливают на специальных амортизаторах, а воинским подразделениям при движении по мосту запрещается идти «в ногу».
При отсутствии трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна возрастать со временем неограниченно. В реальных системах амплитуда в установившемся режиме резонанса определяется условием потерь энергии в течение периода и работы внешней силы за то же время. Чем меньше трение, тем больше амплитуда при резонансе.

53. Превращение энергии при гармонических колебаниях. Вынуж­денные колебания. Резонанс.

При отклонении математического маятника от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, т.к. увеличивается расстояние до Земли. При движении к положению равновесия скорость маятника возрастает, и увеличивается кинетическая энергия, за счет уменьшения запаса потенциальной. В положении равновесия кинетическая энергия – максимальная, потенциальная – минимальна. В положении максимального отклонения – наоборот. С пружинным – то же самое, но берется не потенциальная энергия в поле тяготения Земли, а потенциальная энергия пружины. Свободные колебания всегда оказываются затухающими, т.е. с убывающей амплитудой, т.к. энергия тратится на взаимодействие с окружающими телами. Потери энергии при этом равны работе внешних сил за это же время. Амплитуда зависит от частоты изменения силы. Максимальной амплитуды она достигает при частоте колебаний внешней силы, совпадающей с собственной частотой колебаний системы. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при описанных условиях называется резонансом. Так как при резонансе внешняя сила совершает за период максимальную положительную работу, то условие резонанса можно определить как условие максимальной передачи энергии системе.

54. Распространение колебаний в упругих средах. Поперечные и продольные волны. Длина волны. Связь длины волны со скоростью ее распространения. Звуковые волны. Скорость звука. Ультразвук

Возбуждение колебаний в одном месте среды вызывает вынужденные колебания соседних частиц. Процесс распространении колебаний в пространстве называется волной. Волны, в которых колебания происходят перпендикулярно направлению распространения, называются поперечными волнами. Волны, в которых колебания происходят вдоль направления распространения волны, называются продольными волнами. Продольные волны могут возникать во всех средах, поперечные – в твердых телах под действием сил упругости при деформации или сил поверхностного натяжения и сил тяжести. Скорость распространения колебаний v в пространстве называется скоростью волны. Расстояние l между ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, называется длиной волны. Зависимость длины волны от скорости и периода выражается как , или же . При возникновении волн их частота определяется частотой колебаний источника, а скорость – средой, где они распространяются, поэтому волны одной частоты могут иметь в разных средах различную длину. Процессы сжатия и разрежения в воздуха распространяются во все стороны и называются звуковыми волнами. Звуковые волны являются продольными. Скорость звука зависит, как и скорость любых волн, от среды. В воздухе скорость звука 331 м/с, в воде – 1500 м/с, в стали – 6000 м/с. Звуковое давление – дополнительно давление в газе или жидкости, вызываемое звуковой волной. Интенсивность звука измеряется энергией, переносимой звуковыми волнами за единицу времени через единицу площади сечения, перпендикулярного направлению распространения волн, и измеряется в ваттах на квадратный метр. Интенсивность звука определяет его громкость. Высота звука определяется частотой колебаний. Ультразвуком и инфразвуком называют звуковые колебания, лежащие вне пределов слышимости с частотами 20 килогерц и 20 герц соответственно.

55.Свободные электромагнитные колебания в контуре. Превраще­ние энергии в колебательном контуре. Собственная частота коле­баний в контуре.

Электрическим колебательным контуром называется система, состоящая из конденсатора и катушки, соединенных в замкнутую цепь. При подключении катушки к конденсатору в катушке возникает ток и энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля. Конденсатор разряжается не мгновенно, т.к. этому препятствует ЭДС самоиндукции в катушке. Когда же конденсатор разрядится полностью, ЭДС самоиндукции будет препятствовать убыванию тока, и энергия магнитного поля будет переходить в энергию электрического. Ток, возникающий при этом, зарядит конденсатор, причем знак заряда на обкладках будет противоположным первоначальному. После чего процесс повторяется до тех пор, пока вся энергия не будет затрачена на нагревание элементов цепи. Таким образом, энергия магнитного поля в колебательном контуре переходит в энергию электрического и обратно. Для полной энергии системы возможно записать соотношения: , откуда для произвольного момента времени . Как известно, для полной цепи . Полагая, что в идеальном случае R»0, окончательно получим , или же . Решением этого дифференциального уравнения является функция , где . Величину w называют собственной круговой (циклической) частотой колебаний в контуре.

Закона, а на языке более уважительном и человечном. И вместо “вы обязаны”, будем говорить: “давайте попробуем”». Школьный курс по основам православной культуры является предметом культурологическим (а не религиозным), и поэтому его нужно преподавать в школе так, как необходимо преподавать математику. Так считает митрополит Смоленский и Калининградский Кирилл (Гундяев). Реализовывать эту в...

Раза. В силу специфичности информации схемы определения количества информа­ции, связанные с ее содержательной стороной, оказы­ваются не универсальными. Универсальным оказывается алфавитный подход к измерению количества информации. В этом подходе сообщение, представленное в какой-либо знаковой системе, рассматривается как совокупность сообще­ний о том, что заданная позиция в последовательнос­ти...

Полезно учителю при подготовке рассказа на уроке. В данной публикации сделана попытка выделить тот самый минимум, который ученику необходимо включить в свой ответ на экзамене. Примечания для учеников При ответе надо быть готовым к дополнительным вопросам об обосновании тех или иных утверждений. Например, каковы максимальное и минимальное значения 8-битного целого числа со знаком и почему их...

Список или выбрать из 2-3 текстов наиболее интересные места. Таким образом, мы рассмотрели общие положения по созданию и проведению элективных курсов, которые будут учтены при разработке элективного курса по алгебре для 9 класса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром». Глава II. Методика проведения элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» 1.1. Общие...

Рассмотрим превращение энергии при гармонических колебаниях для двух случаев: в системе нет трения; трение в системе есть. Превращение энергии в системах без трения. Сместив шарик, прикрепленный к пружине, вправо на расстояние хт, мы сообщаем колебательной системе запас потенциальной энергии: При движении шарика влево деформация пружины становится меньше и потенциальная энергия уменьшается. Но одновременно увеличивается скорость и, следовательно, растет кинетическая энергия. В момент прохождения шариком положения равновесия потенциальная энергия становится минимальной. Кинетическая же энергия достигает максимума. После прохождения положения равновесия скорость начинает уменьшаться. Следовательно, уменьшается и кинетическая энергия. Потенциальная же энергия снова растет. В крайней левой точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Это же самое можно проследить и на колебаниях маятника. Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий: Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. Но полная механическая энергия замкнутой системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, остается согласно закону сохранения энергии неизменной. Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо же кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия: Энергия колеблющегося тела прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний координаты или квадрату амплитуды колебаний скорости Затухающие колебания. Свободные колебания груза, прикрепленного к пружине, или маятника являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения. Но силы трения, или, точнее, силы. сопротивления, хотя, может быть, и малые, всегда действуют на колеблющееся тело. Силы сопротивления совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. В конце концов, после того как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Колебания при наличии сил сопротивления являются затухающими. График зависимости координаты тела от времени при затухающих колебаниях изображен на рисунке 63. Подобный график может вычертить само колеблющееся тело, например маятник. На рисунке 64 изображен маятник с песочницей. Маятник на равномерно движущемся под ним листе картона струйкой песка вычерчивает график зависимости координат от времени. Это простой метод временной развертки колебаний, дающий весьма полное представление о процессе колебательного движения. При небольшом сопротивлении затухание колебаний на протяжении нескольких периодов мало. Если же к нитям подвеса прикрепить лист плотной бумаги для увеличения силы сопротивления, то затухание станет значительным. В автомобилях применяются специальные амортизаторы для гашения колебаний кузова на рессорах при езде по неровной дороге. При колебаниях кузова связанный с ним поршень движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Жидкость перетекает через отверстия в поршне, что приводит к появлению больших сил сопротивления и быстрому затуханию колебаний. Энергия колеблющегося тела при отсутствии сил трения остается неизменной. Если в системе есть силы сопротивления, то колебания являются затухающими.